#数据的表示和运算

#考点定位

• 大纲章节：数制与编码、定点数表示与运算、浮点数表示与运算（IEEE 754）、算术逻辑单元
• 常见题型：选择题密集（进制/校验码/范围/溢出/IEEE 754 互转），大题热点是 IEEE 754 表示与浮点运算流程
• 考查频率：高（408 计组部分最高频的章节之一，几乎每年 4-6 分）
• 工程师读者注意：你天天用补码和 float，但考试考手算全流程与教材口径的术语（左规/右规/对阶/溢出判断），坑全在细节

#一、进制转换与编码

#1.1 进制转换

整数部分除 2 取余（倒序），小数部分乘 2 取整（顺序）。工程师对整数转换无压力，重点是小数的精度陷阱。

小数转换的精度陷阱：多数十进制小数无法精确表示为有限位二进制。

例：$$（取 1）$$（取 0）$$（取 0）$$（取 1）$$ 回到 $$，开始循环：$$，是无限循环小数。

选择题问法："十进制 0.6 用二进制表示时是……"答：无限循环小数，无法精确表示。能精确表示的十进制小数分母须为 2 的幂（如 0.5、0.75、0.0625）。

转换链套路：十进制 ↔ 二进制 ↔ 十六进制。八进制/十六进制与二进制按 3 位/4 位一组直转，$$ 位十六进制对应 $$ 位二进制。

#1.2 BCD 码（8421 码）

每 4 位二进制表示 1 位十进制数字。十进制 59 → 0101 1001。

加法修正规则：两位 BCD 相加若某组结果 > 1001（即 > 9）或产生进位，则该组 +0110（+6）修正。

例：BCD 计算 $$：$$，低 4 位为 0001 且有进位，需修正：$$，即 0001 0111 = 17。

陷阱：BCD 码中 1010~ 1111 六种组合非法；"8421 码是有权码、余 3 码是无权码"是常考对比。

#1.3 字符编码（ASCII）与校验位

• 7 位编码共 128 字符；数字 '0' = 30H，大写 'A' = 41H，小写 'a' = 61H（大小写相差 20H，即第 5 位不同）。
• 数字字符的 ASCII 低 4 位即该数字的 BCD 码（'5' = 35H）。

校验位计算：如 'A' = 1000001（7 位，含两个 1），配奇校验（使整个码字中 1 的个数为奇数）时校验位 = 1；配偶校验时校验位 = 0。考法常给一个字符让你算奇/偶校验位，或给含校验位的码判断是否出错。

#二、校验码

#2.1 奇偶校验

• 添加 1 位使码字中 1 的个数为奇（奇校验）或偶（偶校验）。
• 能力：检测 1 位（奇数位）错，不能纠错，不能检测偶数位错。
• 码距（汉明距离）为 2。

#2.2 码距与检错纠错能力（必背结论）

设码距为 $$：

• 检测 $$ 位错：$$
• 纠正 $$ 位错：$$
• 同时检 $$ 纠 $$（$$）：$$

典型：纠 1 位错需码距至少 3；检 2 位错需码距至少 3；检 1 纠 1 需码距至少 4？——注意口径：只纠 1 位错是 $$；"同时检 2 并纠 1"需 $$。题目常在 3 和 4 之间挖坑，看清楚问的是"仅纠 1"还是"又检又纠"。

#2.3 海明码（汉明码）

校验位位数确定：信息位 $$ 位，校验位 $$ 位，须满足

$$

速查：$$（$$）；$$（$$）；$$。

分组规则：校验位放在 $$ 号位置（第 1、2、4、8…位），第 $$ 号信息位由其二进制展开中含 $$ 的那些校验位覆盖（第 3 位 = 1+2，被 $$ 覆盖；第 5 位 = 1+4；第 6 位 = 2+4；第 7 位 = 1+2+4）。

分步演示【待动画化】：信息位 1010，按偶校验海明编码，$$，码字 7 位：

1. 布局：位置 3、5、6、7 放信息位（按约定次序）$$
2. 求 $$（覆盖 1、3、5、7 位）：$$
3. 求 $$（覆盖 2、3、6、7 位）：$$
4. 求 $$（覆盖 4、5、6、7 位）：$$
5. 码字（第 1→7 位）：$$

纠错演示【待动画化】：接收方收到 $$（第 5 位 0→1 出错）：

1. $$ 第 1,3,5,7 位异或 $$
2. $$ 第 2,3,6,7 位异或 $$
3. $$ 第 4,5,6,7 位异或 $$
4. 伴随式 $$，第 5 位出错，取反即纠正

能力结论：纠 1 位错或检（不纠）2 位错，标准海明码码距为 3；增设总体校验位后可"检 2 纠 1"（ SEC-DED ，实际内存 ECC 的做法）。

#2.4 循环冗余校验（CRC）

发送方：信息位左移 $$ 位（$$ = 生成多项式最高次数，即除数位数减 1），用模 2 除法（异或，不借位）除以生成多项式对应位串，余数即 FCS，拼接在信息位后。接收方用同一多项式除整个码字，余数非 0 即出错。

模 2 除法分步演示【待动画化】：信息位 1010，生成多项式 $$，对应除数 1011，$$：

被除数 = 1010 后补 3 个 0 = 1010000。

余数 = 011，即 FCS。发送码字 = 1010 011。自检：1010011 ÷ 1011 余 0。

注意：模 2 除法每一位运算都是异或、不进位不借位；"当前窗口最高位是 0 就商 0、异或全 0"这一步最容易漏做导致错位。

#三、定点数的表示

#3.1 四种机器码对比（含 1 位符号、$$ 位数值，以 8 位整数为例）

一般化（整数，1 符号 + $$ 数值）：原码/反码 $$；补码/移码 $$。

必背结论：

• 补码与移码数值位完全相同，仅符号位相反：$$ 符号位取反。如 $$：$$，$$（8 位，偏置 $$，$$）。
• 由 $$ 快速求 $$：连同符号位一起取反加 1。
• 补码算术右移：符号位不变，数值位右移（相当于除以 2 向负无穷取整，$$）。
• 真值 x 与补码的互推：负数 $$，考场速算用"取反加一加负号"。

#3.2 补码加减与溢出判断

补码加法：符号位一起参与运算；减法转加法：$$。

溢出判断三种方法（只有同号相加才可能溢出，异号相加必不溢出）：

1. 单符号位进位异或：溢出 = 符号位产生的进位 $$ ⊕ 最高数值位向符号位的进位 $$。两者不同则溢出。
2. 双符号位（变形补码）：用两位符号位运算，结果符号位 00 正确（正）、11 正确（负）、01 正溢出、10 负溢出（第一符号位永远是正确符号）。
3. 操作数与结果符号：同号操作数相加结果符号相反则溢出。

分步演示：8 位补码 $$：

1. $$，$$（均为正数）
2. 相加：$$
3. 结果符号位为 1 而操作数均为正 → 正溢出（真值 128 超出 $$）
4. 双符号位验算：$$，符号 01 → 正溢出，一致

负溢出示例：$$：$$，相加 $$，丢进位得 $$，两负得正 → 负溢出；双符号位：$$，符号 10 → 负溢出。

快速判断技巧：先估算真值是否落在表示范围内，再套公式验证——比纯位级判断更稳。

#3.3 乘除（了解即可）

原码一位乘、补码一位乘（Booth）、除法（恢复余数/加减交替）近年以选择考概念（部分积、符号处理）为主，大题概率低，掌握"Booth 算法根据相邻两位判断加减"即可。

#3.4 符号扩展与位截断（选择题高频）

• 原码扩展：符号位不动，数值位高位补 0。
• 补码扩展：高位补符号位（正数补 0、负数补 1），值不变。速记：补码的"1 前缀"对负数是无数个符号位，截多长都不变值。
• 截断（长 → 短）：直接丢弃高位、保留低位，剩余位按新类型重新解释，值通常改变。

例：8 位 $$（真值 $$）扩展为 16 位：$$（= FFE2H，真值仍为 $$：$$）。

考法：给 8 位补码问 16 位扩展后的十六进制；或问"$$，将其作为 16 位数的低 8 位并符号扩展，高 8 位是多少"（92H 最高位 1 → 高 8 位 FFH）。

#四、浮点数与 IEEE 754

#4.1 格式（必背）

位排列（单精度）：

规格化数的真值：

$$

注意 $$ 的"1"是隐含位，不占存储，这是 IEEE 754 多一位精度的来源。

#4.2 特殊值（必背，选择题高频）

单精度规格化数范围：$$。阶码真值范围 $$（全 0、全 1 被特殊值占用）。

#4.3 十进制 → IEEE 754 全流程【待动画化】

例：将 $$ 转为单精度十六进制。

1. 整数/小数分开转二进制：$$；$$（$$ 取 1，$$ 取 1）；故 $$
2. 规格化：$$，得 $$，尾数（去隐含 1）$$
3. 算阶码：$$
4. 拼位：$$（尾数右补 0 至 23 位）
5. 转十六进制：按 4 位分组 $$

反向：0x41C80000 = ?

1. 展开二进制：$$
2. 拆分：$$；$$；$$
3. 阶码真值 $$；尾数 $$
4. $$

#4.4 浮点四则运算流程（大题模板）

加/减五步：对阶 → 尾数运算 → 规格化 → 舍入 → 判溢出。

1. 对阶：小阶向大阶看齐，阶小的尾数右移（每移 1 位阶加 1）。为什么不能大阶向小阶？——尾数左移会丢失高位有效数字，右移只丢低位，损失更小。
2. 尾数运算：按补码（或教材口径的原码/补码体系）加减。
3. 规格化：
   • 右规：尾数溢出（如出现 $$ 或双符号位异常，$$）时尾数右移 1 位、阶加 1。右规可能引发阶码上溢。
   • 左规：尾数非规格化（补码下符号位与最高数值位相同，即形如 $$ 或 $$）时尾数左移、阶减 1，直到规格化。左规可能引发阶码下溢（下溢一般按机器零处理，不算严重错误）。
4. 舍入：右移丢位时处理精度。IEEE 754 默认就近舍入（向偶数舍入， round to nearest even ）：丢位后若超出半程则进位，恰为半程（丢弃部分 = 100…0）则使尾数最低位凑成偶数；另有朝 $$、朝 $$、朝 0（截断）三种定向舍入。
5. 判溢出：溢出的判定只看阶码是否溢出，尾数溢出不算真溢出（可通过右规挽救）。阶码上溢 → 异常/无穷；下溢 → 按机器零。

乘除：阶码相加/相减（减去偏置修正——两数偏置加了两次，单精度须再减 127），尾数相乘/相除，其余步骤同上。

对阶计算示例：$$，$$，求 $$（阶码 3 位含符号口径）：

1. 对阶：$$ 阶小，$$ 尾数右移 2 位：$$（01 丢弃，此处先不精究舍入）
2. 尾数相加：$$
3. 结果 $$ 已规格化，无溢出

#五、C 语言中的数据类型转换（真题高频）

工程师天天写隐式转换，考试考的是位级口径——位模式变不变、值怎么变：

1. 有符号 ↔ 无符号：(unsigned)(-1) = FFFFFFFFH = 4294967295。比较运算中有一方是无符号数，另一方也被转为无符号解释：int i=-1; unsigned u=1; 则 i < u 为假。
2. int → float：float 尾数有效位仅 24（隐含 1 + 23），而 int 有 31 个数值位，$$ 的整数不能全部精确表示；int → double（53 位有效）总能精确。
3. float/double → int：小数部分截断（向零舍入），$$、$$；超出 int 范围时结果无意义（超界）。
4. char 的符号性：C 标准未定义，408 教材口径按补码（有符号）处理。

典型判断：float f = 16777217;（$$）实际存储值为 $$（$$ 恰在 $$ 与 $$ 中点，向偶数舍入取 $$），故 f == 16777216 为真。

#例题

例题 1（模拟题） 求信息位 8 位的海明码所需校验位数。

解：$$：$$ 时 $$ 不成立；$$ 时 $$ 成立。答案 4。

例题 2（模拟题） 信息位 1100，生成多项式 $$（1011），求 CRC 码字。

解：被除数 1100000。模 2 除：1100 ⊕ 1011 = 0111，落下 0 得 1110；1110 ⊕ 1011 = 0101，落下 0 得 1010；1010 ⊕ 1011 = 0001，落下 0 得 0010（最高位 0，商 0）。余数 010，码字 = 1100 010。自检：1100010 ÷ 1011 余 0。

例题 3（模拟题） 8 位补码 80H、FFH 分别表示的真值？

解：80H = 1000 0000，符号位 1、数值位取反加一 = $$，故真值 $$（最小负数，唯一没有对应正数的补码）；FFH = 1111 1111 → 取反加一 = 1，真值 $$。

例题 4（模拟题） 判断 8 位补码运算 $$ 是否溢出并说明方法。

解：见 3.2 分步演示，正溢出；双符号位结果 01（正溢出），单符号位进位异或 $$ 也判定溢出，两种方法一致。

例题 5（模拟题） 将 $$ 转为 IEEE 754 单精度十六进制，并反向验证。

解：见 4.3 反向示例，$$。

例题 6（模拟题） float 变量能否精确存储 $$？能否精确存储 $$？

解：$$ 的二进制为无限循环（$$），不能精确；$$，分母是 2 的幂，能精确（$$，即 0x3E800000）。

例题 7（模拟题） int i = -1; unsigned u = 1; 判断 i < u 的结果并解释。

解：为假。i 被提升为无符号解释，FFFFFFFH = 4294967295 > 1。位模式一字未改，只是"贴的标签"变了——这正是本章"表示"与"值"分离的核心。

例题 8（模拟题） 8 位补码 92H 符号扩展为 16 位，结果的十六进制是多少？

解：92H = 1001 0010，最高位（符号位）为 1，是负数，扩展时高位补 1：高 8 位 FFH，结果 FF92H（真值 $$；验证：92H 无符号值 146，$$ ✓）。

#常见坑

1. 对阶方向：小阶向大阶（小阶尾数右移）。记忆锚：低个子向高个子看齐，蹲下（右移）比踮脚（左移）安全。
2. 右规与左规的时机：尾数绝对值 > 1 → 右规（可能阶上溢）；尾数非规格化（符号位与首位数值位相同）→ 左规（可能阶下溢）。考试最爱混着考"尾数溢出 = 浮点溢出"这个错误说法——尾数溢出可右规挽救，阶码溢出才是浮点溢出。
3. 双符号位 01 是正溢出、10 是负溢出（不是反的）；01/10 里第一位才是真实符号。
4. 海明码 $$ 别忘"+1"；CRC 补 0 个数 = 生成多项式最高次幂（位数减一），不是位数。
5. IEEE 754 阶码全 0/全 1 有特殊含义：规格化数阶码真值范围是 $$，不是 $$。
6. 移码 = 补码符号位取反，但只适用于同一偏置口径；float 的 E 直接就是移码。
7. 8 位补码范围 $$：$$ 有、$$ 无；问"$$ 再取负"是无解陷阱。
8. 奇校验/偶校验 vs 奇偶位数值：偶校验位等于信息位异或（使总数为偶），别记反。
9. 有符号与无符号比较：一方无符号则双方按无符号解释，-1 < 1u 为假——工程上未必踩坑（编译器告警），考试专考这一条。
10. int → float 可能丢精度（float 只有 24 位有效），int → double 不会（53 > 31）；"整型转浮点一定精确"是错误选项常客。

#自测

1. 十进制 0.625 转二进制小数，结果是什么？
2. 信息位 16 位，海明码校验位至少几位？
3. CRC 中"模 2 除法"与普通除法的本质区别是什么？
4. 8 位机器中，$$ 对应的真值是多少？
5. IEEE 754 单精度 0x7F800000 和 0xFFC00000 各代表什么？
6. 浮点加减中，什么情况左规、什么情况右规？为什么对阶只能小向大？
7. 为什么 int 转 double 不丢精度，转 float 却可能丢？

自测答案与简析

1. $$（1），$$（0），$$（1）→ $$，可精确表示。
2. $$，而 $$ 时 $$，故 5 位。
3. 模 2 除法每步做异或、不进位不借位，也不比较大小（首 1 即商 1）。
4. $$（移码 00H = 补码 80H = 真值 −128，移码最小值）。
5. 前者阶码全 1、尾数全 0、符号 0 → $$；后者阶码全 1、尾数非 0 → NaN（符号位对 NaN 无意义）。
6. 尾数溢出（|尾数|>1）右规（尾数右移阶加 1）；尾数非规格化左规（尾数左移阶减 1）。大阶向小阶需尾数左移，会丢失高位有效位，故只能小阶向大阶。
7. double 尾数有效位 53 位 > int 的 31 个数值位，足以放下；float 只有 24 位有效位，$$ 的整数放不下。