#一元函数微分学

#考点定位

• 大纲位置：高等数学第二章，考研数学证明题的主战场
• 常见题型：导数定义类选择/填空、隐函数与参数方程求导、中值定理证明题（解答题压轴常客）、单调性与极值凹凸性、渐近线计算、不等式证明
• 考查频率：高。中值定理证明题几乎每年一道解答题；导数定义类概念题是选择题高频陷阱区
• 定位：证明题套路化——辅助函数构造模式有限，全部总结在一张表里，反复演练即可

#核心讲解

#导数定义类考法

#定义及其变体

$$

考题从不给标准形式，全部是变体识别：

充要条件链（选择题直接考）：

$$

$$

#一点可导 vs 邻域可导（高级陷阱）

可导是逐点性质：$$ 在 $$ 可导，完全不能推出 $$ 在 $$ 的任何邻域内可导，甚至不能推出邻域内连续。

经典反例：$$（$$ 为狄利克雷函数，有理点取 1、无理点取 0）。在 $$ 处 $$，故 $$；但在任何 $$ 处 $$ 都不连续、更不可导。

考点落点：题目只给"$$ 在 $$ 可导"时，求相关极限必须凑定义，禁止洛必达（洛必达需要邻域可导）。命题人专门用这一点设置错误选项。

#求导方法

#复合与隐函数

• 链式法则：$$。多层复合从外到内剥洋葱
• 隐函数求导两种等价做法：
  1. 方程两边对 $$ 求导（$$ 视为 $$），解出 $$
  2. 全微分法：对 $$ 取 $$，解出 $$（一阶时效率最高）
• 对数求导法（两类必用）：幂指函数 $$、多因子连乘连除带根号。两边取对数再求导

#参数方程求导（二阶导是重灾区）

设 $$，$$：

$$

注意：二阶导是对 $$ 求导后再除以 $$，不是直接对 $$ 求导。原理：$$，而 $$。漏除 $$ 是本考点第一大计算错误。

#中值定理证明题套路

#定理装备库

条件验证必须写全：闭区间连续 + 开区间可导 + 端点条件，缺一项阅卷扣分。

#辅助函数构造模式表（核心套路）

证题流程：把结论中的 $$ 换成 $$，凑成 $$ 的形式，再找 $$ 对罗尔定理。

端点凑法：构造出的 $$ 需要两端点值相等（罗尔）或已知端点值（拉格朗日）。题目给的条件（如 $$、$$）就是用来凑端点的——先看条件能凑出哪个 $$ 的等值端点，再定构造方向。

（辅助函数构造的分步演示：待动画化）

#单调性、极值、凹凸性、拐点

判别流程（一阶导定单调极值，二阶导定凹凸拐点）：

概念辨析（选择题陷阱区）：

• 驻点（$$ 的点）$$ 极值点：$$ 在 0 是驻点非极值；$$ 在 0 是极值点非驻点
• 极值是局部概念；最值还看端点与不可导点
• $$ 只能保证存在邻域单调增（由保号性），不能推出整个给定区间单调

#渐近线（三种全算）

设 $$：

统计渐近线条数的题型：三种全查、双侧全查，漏 $$ 是最常见丢分点。

#例题

#例题 1（模拟题）导数定义变体

设 $$、$$，求 $$。

解析：只知一点可导，禁止洛必达，凑定义：

$$

第一因子中 $$ 且 $$，故趋于 $$；第二因子趋于 $$。原式 $$。

#例题 2（模拟题）分段函数可导性

$$ 在 $$ 处可导，求 $$。

解析：可导必连续：$$，$$，故 $$。

分界点求导必须用定义：$$，$$。可导要求 $$，从而 $$。

坑：直接对两段表达式求导再令相等会漏掉连续性条件，某些题（如 $$ 段常数不同）会出错，用定义最稳。

#例题 3（模拟题）对数求导与参数方程二阶导

（1）$$（$$），求 $$。

（2）$$，$$，求 $$。

解析：

（1）幂指函数，取对数：$$，两边对 $$ 求导（左边是 $$）：

$$

（2）$$，$$，故

$$

$$

第二步必须再除以 $$，这是参数方程二阶导的标准失分点。

#例题 4（模拟题）隐函数求导

设 $$ 确定 $$，求 $$（注意 $$ 时 $$）。

解析：两边对 $$ 求导：$$，解得 $$。代入 $$：$$。

#例题 5（真题，2005 年数学一）双中值：介值 + 拉格朗日

设 $$ 在 $$ 上连续、在 $$ 内可导，$$，$$。证明：

（1）存在 $$，使得 $$；

（2）存在两个不同的点 $$，使得 $$。

解析：

（1）令 $$，$$ 在 $$ 连续，$$，$$。由零点定理，存在 $$ 使 $$，即 $$。

（2）在 $$ 与 $$ 上分别用拉格朗日中值定理（连续可导条件均满足）：

$$

两式相乘：$$，且 $$、$$ 必不相同。

套路总结：第（1）问用介值/零点定理先"切"出一个分点，第（2）问在两个子区间各用一次中值定理——这是"两个不同中值"类问题的标准双段式结构。

#例题 6（模拟题）极值、拐点与渐近线综合

求 $$ 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点与渐近线。

解析：

$$：$$ 时 $$（增），$$ 时 $$（减），$$ 为极大值点，$$。

$$：$$ 时 $$（上凸），$$ 时 $$（下凹），拐点 $$。

渐近线：$$ 时 $$，有水平渐近线 $$；$$ 时 $$，且 $$ 不存在，故该侧无斜渐近线，也无水平渐近线。无垂直渐近线。

坑：水平渐近线只在一侧成立也必须写清楚方向。

#常见坑

1. 一点可导就敢用洛必达：见"一点可导 vs 邻域可导"，这是选择题最爱设的错误解法
2. 参数方程二阶导漏除 $$
3. 幂指函数用 $$：该公式只对常数指数成立，幂指必须对数求导
4. "极值点必是驻点"：错。不可导点也能取极值（$$ 在 0）
5. 分段点求导不走定义：对两段各自求导再拼接，在分界点不合法
6. 渐近线只查一个方向：$$ 的水平/斜渐近线经常单独存在
7. 拐点答成 $$：拐点是 $$，必须带函数值
8. 中值定理证明跳过条件验证：开区间可导、闭区间连续、端点条件，三条都要写
9. $$ 且 $$ 就下结论：判别法二失效，必须回判别法一查变号

#自测

1. 求 $$ 在 $$ 处的导数（若存在）
2. 设 $$ 确定 $$，写出 $$ 的一般表达式
3. 求 $$ 的极值点与极值
4. 求曲线 $$ 的全部渐近线
5. 设 $$ 在 $$ 上连续、$$ 内可导，且 $$，证明存在 $$ 使 $$

#自测答案与简析

1. 存在，$$。$$（因 $$），定义直接算出
2. $$（隐函数两边求导后解出，含 $$ 的表达式是正常形态）
3. $$ 得 $$。$$ 左右 $$ 由正变负，极大值 $$；$$ 左右由负变正，极小值 $$
4. 垂直渐近线 $$；$$，$$，斜渐近线 $$；无水平渐近线
5. 构造 $$：$$，$$ 在 $$ 连续、$$ 可导，由罗尔定理存在 $$ 使 $$，即 $$。这是模式表中 $$ 构造的 $$ 情形

#本章关联

• 前一章：函数、极限与连续（导数定义即差商极限）
• 章节测见 数学测验目录，做完回写 错题本