#函数极限与连续 章节测

• 范围：01-高等数学/01-函数、极限与连续
• 题量：单选 12 + 填空 4 + 计算/证明 4，共 20 题，建议 60 分钟内完成
• 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
• 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

#一、单选题

1. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. 不存在

2. 当 $$ 时，$$ 是 $$ 的（　）

A. 等价无穷小　　B. 同阶但不等价的无穷小　　C. 高阶无穷小　　D. 低阶无穷小

3. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. 不存在

4. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

5. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. 不存在（但不是 $$）

6. "$$ 在 $$ 处连续"是"$$ 在 $$ 处可导"的（　）

A. 充分必要条件　　B. 充分非必要条件　　C. 必要非充分条件　　D. 既非充分也非必要条件

7. 函数 $$ 在 $$ 处（　）

A. 可导且 $$　　B. 可导且 $$　　C. 可导且 $$　　D. 不可导

8. 曲线 $$ 的渐近线共有（　）

A. $$ 条　　B. $$ 条　　C. $$ 条　　D. $$ 条

9. 设 $$ 在 $$ 上二阶可导且 $$ 对 $$ 恒成立，则（　）

A. $$　　B. $$ C. $$　　D. $$

10. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. 不存在　　D. $$

11. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

12. 当 $$ 时，下列无穷小中与 $$ 等价的是（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

#二、填空题

13. $$ ________

14. 若 $$ 存在，则 $$ ________，$$ ________

15. 函数 $$ 的间断点 $$ 是________间断点（写出具体类型）

16. 当 $$ 时，$$ 与 $$（常数 $$，$$ 为正整数）同阶，则 $$ ________，$$ ________

#三、计算与证明题

17.（要求用两种方法）求 $$

18. 求 $$，并指出它属于哪种未定式

19. 已知 $$，求 $$

20. 求函数 $$ 的全部间断点，并判断各间断点的类型

#答案与解析

#单选题

1. B（易）

• 考点标签：根式有理化
• 解析：分子有理化，$$
• 错因提醒：直接对分子"等价替换"无从下手；$$ 这类条目只适用于"减 1"结构，本题是两个根式之差，必须先有理化

2. C（易）

• 考点标签：无穷小阶的比较
• 解析：$$，相对 $$ 是三阶，即高阶无穷小
• 错因提醒：部分考生会用 $$，这正说明加减结构中禁止逐项等价替换，须用泰勒展开

3. B（中）

• 考点标签：提出公因子 + 等价替换
• 解析：$$。第一因子 $$ 是非零因子直接提出；第二因子 $$，故原式 $$
• 错因提醒：对 $$ 直接用拉格朗日中值 $$ 也可，但硬上洛必达会导致求导过程极其繁琐——先提非零因子是此类"同底指数之差"的标准动作

4. B（中）

• 考点标签：泰勒展开（上下同阶原则）
• 解析：$$，分子 $$，除以 $$ 得 $$
• 错因提醒：只展到 $$ 项则分子恒为 $$，无信息。加减结构必须展到抵消后第一个非零项

5. D（中）

• 考点标签：$$ 型单侧极限
• 解析：$$ 时分子分母同除 $$：$$；$$ 时 $$、$$，比值 $$。左右极限存在但不相等，极限不存在（且不是 $$）
• 错因提醒：见 $$ 必须分侧。误选 A 或 B 都是只算了一侧

6. C（易）

• 考点标签：连续与可导的关系
• 解析：可导必连续；连续不一定可导（反例 $$ 在 $$）。故连续是可导的必要非充分条件
• 错因提醒：方向别记反——"$$ 在 $$ 可导 $$ 在 $$ 连续"，箭头只能从可导指向连续

7. B（中）

• 考点标签：绝对值函数的左右导数
• 解析：分段去绝对值后求导，再看 $$ 两侧的导数值。$$ 时 $$，$$，故 $$；$$ 时 $$，$$，故 $$。左右导数存在且相等，$$ 在 $$ 处可导，$$
• 错因提醒：含绝对值的函数在"尖点"处不可导是常见经验（如 $$ 在 $$），但本题指数因子恰好把两侧导数"抹平"为相等——经验结论不能代替左右导数的实际计算。另注意结论链：左右导数都存在且相等 $$ 可导

8. B（中）

• 考点标签：渐近线条数统计
• 解析：垂直渐近线 $$；$$，$$，斜渐近线 $$；有斜渐近线的一侧无水平渐近线。共 2 条
• 错因提醒：统计条数要"三种全查、双侧全查"；本题 $$ 与 $$ 的斜渐近线相同，切勿因此重复计数

9. B（中）

• 考点标签：拉格朗日中值定理 + 单调性
• 解析：由拉格朗日，$$，$$。$$ 在 $$ 严格增，故 $$，即 B
• 错因提醒：$$、$$ 题设未明说存在——二阶可导于开区间，端点导数应理解为单侧/延拓意义；标准考法即按严格增比较，选 B。若纠结端点导数存在性属于审题偏差

10. A（中）

• 考点标签：洛必达失效场景、夹逼
• 解析：$$，第一因子 $$，第二因子满足 $$，故极限为 $$。若用洛必达，分子求导后 $$ 振荡无极限，洛必达失效但原极限存在
• 错因提醒："导后极限不存在"只能说明洛必达不适用，不能推出原极限不存在——这是 C 选项的陷阱

11. B（难）

• 考点标签：$$ 公式 + 高阶展开

• 解析：底 $$，指数 $$，用 $$：

  $$

  而 $$，故 $$……逐步写：$$，于是 $$，即 $$。指数乘积 $$，原式 $$

• 错因提醒：把 $$ 当成 $$ 直接代入是零精度；必须展到 $$ 的一次项

12. B（易）

• 考点标签：等价无穷小判定
• 解析：A $$（同阶不等价）；B $$（等价，正确）；C $$（三阶）；D $$（同阶不等价）
• 错因提醒："同阶"与"等价"要区分：A、D 与 $$ 同阶但比值是 $$，不是等价

#填空题

13. $$（中）

• 考点标签：$$ 公式
• 解析：$$，指数 $$，故极限 $$
• 错因提醒：$$ 必须与指数相乘后再取极限，不是各自取极限

14. $$，$$（中）

• 考点标签：极限存在性反求参数
• 解析：极限存在而分母 $$，必须分子 $$，得 $$；再由 $$ 得 $$
• 错因提醒：没有"分子趋于 0"这一步，$$ 无从确定——"分母趋 0 且极限存在 $$ 分子趋 0"是这类题的第一句话

15. 无穷间断点（第二类）（中）

• 考点标签：间断点分类、单侧极限
• 解析：$$ 时 $$，$$；$$ 时 $$，$$。右（左）侧中出现无穷即第二类无穷间断点
• 错因提醒：一侧极限为 $$ 不影响定性——第二类只要求至少一侧为无穷或振荡；"可去/跳跃"要求左右极限都存在

16. $$，$$（中）

• 考点标签：泰勒展开求阶
• 解析：$$，故 $$、$$
• 错因提醒：逐项替换成 $$ 是本题的典型错误；加减结构必须整体展开

#计算与证明题

17. $$（中）

• 考点标签：$$ 型、通分、泰勒与洛必达双解

• 解析：通分化为 $$：

  $$

  法一（等价替换 + 泰勒）：分母 $$，分子 $$，极限 $$

  法二（洛必达）：$$，仍为 $$，再洛一次得 $$

• 错因提醒：$$ 直接分别求极限得"$$"没有意义，第一步必是通分（分式之差）或有理化（根式之差）

18. $$，属 $$ 型（中）

• 考点标签：幂指型未定式、取对数

• 解析：$$ 时底 $$、指数 $$，是 $$ 型（底趋于 0、指数趋于 0）。取对数：

  $$

  因 $$ 且 $$，而 $$，第二项为 $$。故对数极限为 $$，原式 $$

• 错因提醒：本题类型为 $$（不是 $$，先辨型再动手）；"$$" 与 "$$" 的转化依赖 $$ 的拆分，这是幂指型取对数后的标准预处理

19. $$（难）

• 考点标签：泰勒逆用、由极限条件反求信息

• 解析：条件即 $$。展开 $$，代入：

  $$

  两边除以 $$：$$，故 $$

• 错因提醒：本题无法对 $$ 直接求极限（$$ 信息全在条件里），唯一路径是把已知函数展开到条件给出的精度；漏掉 $$ 三阶项会得到错误答案 $$

20.（中偏难）

• 考点标签：间断点全谱判别（一道题覆盖三类）

• 解析：可疑点：$$（分母为零处）。

  $$：分子 $$，分母 $$ 且 $$，故 $$，为无穷间断点（第二类）

  $$：分子 $$，分母 $$。$$：$$；$$：$$。左右极限存在不相等，为跳跃间断点（第一类）

  $$：在 $$ 附近 $$，$$，为可去间断点（第一类）（补充定义 $$ 即连续）

• 错因提醒：含 $$ 的分母在 $$ 处必须分侧；$$ 处要先约分再下结论，否则误判为"不存在"

#测后统计（自填）

错题逐条回写 错题本；若第 5、10、11、19 题有错，建议重读章节讲义的"洛必达失效场景"与"泰勒逆用"两节。