#一元积分与微分方程 章节测

• 范围：01-高等数学/03-一元函数积分学、01-高等数学/04-常微分方程
• 题量：单选 12 + 填空 4 + 计算/证明 4，共 20 题，建议 70 分钟内完成
• 要求：全部题目为模拟题（按真题风格命制，非历年真题）。答案与解析在文档末尾，做完再对
• 考后动作：错题按错因分类（概念不清 / 计算失误 / 审题偏差 / 技巧缺失）回写 错题本

#一、单选题

1. $$（$$ 且 $$）= （　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

2. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

3. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

4. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

5. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

6. 下列反常积分中收敛的是（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

7. 微分方程 $$ 的通解为（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

8. 方程 $$ 的特解可设为 $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

9. 方程 $$ 属于（　）

A. 可分离变量方程　　B. 齐次方程　　C. 一阶线性方程　　D. 伯努利方程

10. $$（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

11. 曲线 $$ 围成图形的面积为（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

12. 曲线 $$ 与 $$ 所围成图形的面积为（　）

A. $$　　B. $$　　C. $$　　D. $$

#二、填空题

13. $$ ________

14. $$ ________

15. 微分方程 $$ 的通解为 ________

16. $$ ________

#三、计算题

17. 求 $$

18. 求 $$

19. 求微分方程 $$ 的通解

20. 设 $$ 连续，且满足 $$，求 $$

#答案与解析

#单选题

1. 答案 A

$$，对数链凑微分。

• 考点标签：凑微分（第一类换元）
• 难度：易
• 错因提醒：选 B 是把 $$ 的模式张冠李戴——分清"谁在分子谁在分母"

2. 答案 B

分部积分（幂×指，$$）：$$。

• 考点标签：分部积分
• 难度：易
• 错因提醒：选 C/D 多为分部后忘减 $$ 或忘代入上下限

3. 答案 C

$$ 为奇函数积分为 $$；$$ 为偶函数：$$。先查奇偶再动笔。

• 考点标签：定积分对称性
• 难度：易
• 错因提醒：选 A 是看见"奇函数积分 0"就条件反射——$$ 是偶函数，不能整体归零

4. 答案 B

变限求导：$$。

• 考点标签：变限积分求导（复合上限）
• 难度：易
• 错因提醒：选 A 漏乘内层导数 $$，这是本考点第一大丢分点

5. 答案 A

点火公式（区间恰为 $$，偶数次）：$$。

• 考点标签：华里士（点火）公式
• 难度：易
• 错因提醒：选 B 是对 $$ 翻倍的规则错用到了 $$；只有偶数次幂才乘 $$

6. 答案 C

$$ 收敛；其余与 $$、$$ 同阶或更糟，发散。

• 考点标签：反常积分敛散性
• 难度：中
• 错因提醒：$$ 当且仅当 $$ 收敛；若下限取 $$，$$ 处 $$ 还会产生瑕点，审题要看清积分限

7. 答案 B

特征方程 $$，$$ 二重根，通解 $$。

• 考点标签：二阶常系数齐次
• 难度：易
• 错因提醒：选 A/D 漏判重根；重根必补 $$

8. 答案 B

$$ 是 $$ 的特征根（共振，$$），且 $$、$$ 必须成对设。

• 考点标签：非齐次特解设法
• 难度：中
• 错因提醒：选 A 不查共振（代入后矛盾）；选 D 中 $$ 项结构残缺，$$ 与 $$ 必须同时设

9. 答案 B

右端能写成 $$ 的函数，是齐次方程，令 $$ 化为可分离。

• 考点标签：一阶方程类型识别
• 难度：易
• 错因提醒：$$ 无法把 $$ 拆开各自积分，不是可分离型；识别看"能否化为 $$"

10. 答案 B

$$，故 $$，极限为 $$。（亦可洛必达：$$。）

• 考点标签：变限积分与极限
• 难度：中
• 错因提醒：分子分母同阶的比值问题用等价替换最稳；用洛必达时注意分母 $$ 的系数 3

11. 答案 A

$$（自查：$$ 是半径 $$ 的圆，面积 $$，吻合）。

• 考点标签：极坐标面积
• 难度：中
• 错因提醒：忘乘 $$ 会得 $$（误选 B）；极坐标面积公式是 $$

12. 答案 C

交点：$$。$$。

• 考点标签：平面图形面积
• 难度：易
• 错因提醒：先解交点定限；"上减下"（$$ 于 $$）保证被积函数非负，不需要绝对值

#填空题

13. 答案： $$

分部（$$，$$）：$$。

• 考点标签：分部积分
• 难度：易
• 错因提醒：符号——$$，减负得正

14. 答案： $$

$$。

• 考点标签：无穷限反常积分计算
• 难度：易
• 错因提醒：$$ 在 $$ 处趋于 0，上极限贡献为 0，下限贡献 $$；系数 $$ 常被丢

15. 答案： $$

可分离：$$。

• 考点标签：可分离变量方程
• 难度：易
• 错因提醒：指数是 $$ 不是 $$；严格说 $$ 也是解（含于 $$）

16. 答案： $$

令 $$：$$。

• 考点标签：三角代换 + 点火公式
• 难度：中
• 错因提醒：$$ 要拆成 $$ 分开点火；也可用 $$ 验算

#计算题

17. 答案： $$

假分式先除法：$$；部分分式 $$，积分得 $$。

• 考点标签：有理函数部分分式
• 难度：中
• 错因提醒：假分式不先除法直接设部分分式是原则性错误；两个 $$ 合并时绝对值要保留

18. 答案： $$

令 $$，则 $$，$$；$$ 对应 $$：

$$

• 考点标签：第二类换元（根式整体代换）+ 换限
• 难度：中
• 错因提醒：换元必须同步换积分限；$$，不是 1

19. 答案： $$

特征方程 $$，齐次通解 $$。$$ 不是特征根（$$），设 $$，代入：

$$

解 $$、$$ 得 $$、$$。

• 考点标签：二阶常系数非齐次（三角右端）
• 难度：中
• 错因提醒：$$、$$ 必须成对设；联立解系数时两个方程都要用上，验算代回最稳

20. 答案： $$

两边求导：$$，即 $$；原方程令 $$ 得 $$。解一阶线性：$$，由 $$ 得 $$，故 $$。

验证：$$，代回 $$，吻合。

• 考点标签：变限积分方程（求导脱限 + 初值）
• 难度：中
• 错因提醒：初值必须从原方程取（求导后信息已丢失）；解完代回原方程检验是防漏检的最后防线