#一元函数积分学

#考点定位

• 大纲位置：高等数学第三章，计算量最大的章节，是后面多元积分与微分方程综合题的工具库
• 常见题型：不定积分换元/分部选型、定积分的对称性与区间再现技巧、变限积分求导与极限、反常积分敛散判别、几何应用（面积/旋转体体积/弧长/旋转曲面）
• 考查频率：高。积分计算几乎渗透每张卷的每个大题；变限积分求导是高频选择/填空陷阱
• 定位：积分是"模式识别 + 计算准确率"的功夫——选型对了就成功一半，本章把选型决策做成一棵树和三张表，反复对照演练

#核心讲解

#不定积分：选型决策树

拿到积分先问"被积函数长什么样"，而不是上来就动笔。整套决策流程：

决策顺序有讲究：先看能不能凑微分（成本最低），再看是否两类函数乘积（分部），再看根式（第二类换元），最后有理函数部分分式（万能但最费时）。考场先花 10 秒选型，比埋头硬算 5 分钟强。

#凑微分模式表（第一类换元）

第一类换元的本质：把被积式的一部分识别为某函数的微分。高频模式必须形成条件反射：

#第二类换元：三类根式代换

倒代换 $$：分母幂次明显高于分子时用（如 $$ 型），本质是把分母的 $$ 换到分子。

#分部积分：选 u 的口诀

$$

两类不同函数相乘时，按 "反、对、幂、指、三" 的优先级选 $$（排前者当 $$，排后者进 $$）。这个口诀是让 $$ 比 $$ 更简单的经验总结：

• $$：幂在指前，$$，$$
• $$：对在幂前，$$，$$
• $$：反三角在幂前，$$
• $$：指与三同级，任选一个当 $$，两次分部后移项解方程

#有理函数部分分式分解

任何 $$（$$ 为多项式）的原函数都是初等函数，步骤固定：

1. 假分式（分子次数 ≥ 分母）先做除法化为"多项式 + 真分式"
2. 分母 $$ 在实数范围内分解为一次因式 $$ 与不可约二次因式 $$（$$）
3. 按模板拆：

$$

4. 定系数：代入特殊根（最优先）+ 比较同次幂系数
5. 逐项积分：一次式直接 $$；二次式配方后拆成 $$ 型（凑对数）与 $$ 型（凑 $$）

三角函数有理式 $$ 的万能代换 $$（仅数一大纲点名，数二了解即可）是最后手段，优先尝试奇偶化简（$$ 等）。

#定积分：性质与对称性技巧

#基本性质

线性、区间可加、$$、估值定理。奇偶与周期是考研最值的两个免费分技巧：

$$

$$

先查奇偶周期再动笔，是定积分第一大纪律。遇到非对称区间可先用区间可加移成对称区间。

#区间再现公式（翻转技巧）

$$

证明一行：右边换元 $$ 即得。威力在于把 $$ 换成 $$ 后两式相加，消去讨厌的因子。最重要的推论：

$$

分子上的 $$ 直接被"平均"掉——遇到 $$、$$ 这类题，区间再现是唯一正解（见例题 3）。

#变限积分求导

$$ 连续时 $$ 可导且 $$——这是"积分产生新函数"的基石。一般形式（上限为复合函数）：

$$

被积函数含 $$ 时禁止直接套（求导变量与积分变量混了），两条出路：

1. 拆项提出：$$，再求导
2. 换元内移：$$ 令 $$ 化为 $$ 后求导

#华里士公式（点火公式）

$$

口诀："偶添 $$，奇止于 $$"。

适用条件（缺一不可）：积分区间恰为 $$，且被积函数是 $$ 或 $$ 的整数次幂。其他区间必须先做对称性换算：

#反常积分：敛散性判别与计算

两类：无穷限（$$）与瑕积分（区间内有无穷间断点）。判别先于计算——发散就不要算。

两个标准尺度（比较判别法的参照物）：

$$

常见结论：$$ 当且仅当 $$ 收敛（换元 $$ 化为第一个尺度）；$$（$$）收敛于 $$。

计算示范（双重反常：瑕点 $$ + 无穷限）：$$。令 $$，$$，$$，被积式化为 $$，$$ 对应 $$：

$$

拆项陷阱：$$ 若拆成两项各自发散，不能断言原积分发散（如 $$ 收敛）；反之，若任一项收敛另一项发散，则原积分必发散。

#定积分的几何应用

#平面图形面积

直角坐标：$$（先求交点定限，大减小）。

极坐标（数一数二均考）：

$$

忘乘 $$ 是本考点第一大错。自查：$$ 是半径 $$ 的圆，面积必须等于 $$。

#旋转体体积

#弧长与旋转曲面（仅数一）

弧长公式三张脸记一个原则：都是"微分勾股定理" $$ 的变形。旋转曲面 = 周长 $$ × 弧微元。

#例题

#例题 1（模拟题）分部积分的"构造性"用法

求 $$。

解析：被积函数是幂、指、分式的混合，硬分部会越算越乱。注意到分母 $$ 恰好是 $$ 的导数结构，把 $$ 整体看作 $$：

$$

后一式分子恰好 $$：

$$

验证：$$，成立。

套路总结：出现 $$、$$ 这类"分母导数结构"，优先试 $$ 方向的分部，而不是强行拆项。

#例题 2（模拟题）有理函数部分分式

求 $$。

解析：分母已分解为一次因式 $$ 与不可约二次因式 $$，设：

$$

通分比较：$$。代入根 $$ 得 $$；比较 $$ 项 $$ 得 $$；比较 $$ 项 $$。于是：

$$

定系数提速：先代根（一次因式的根），再比最高次与最低次幂系数，多数题不用解方程组。

#例题 3（模拟题）区间再现消去分子上的 $$

求 $$。

解析：分子上的 $$ 让分部积分变成灾难。区间再现：$$，

$$

两式相加：

$$

故 $$。

套路总结：$$ 一律先区间再现再点火，分子 $$ 变成系数 $$。

#例题 4（模拟题）变限积分求导：被积函数含 $$

设 $$ 连续，$$，求 $$ 与 $$。

解析：被积函数含 $$，先拆项提出再求导：

$$

$$

$$

坑：直接写 $$ 是经典错误——变限求导公式只适用于被积函数不含 $$ 的情形。

（上限为复合函数的对照）：$$，链式法则别丢内层导数。

#例题 5（模拟题）点火公式的区间换算与指数奇偶陷阱

计算：（1）$$；（2）$$；（3）$$；（4）$$。

解析：

（1）区间正是 $$，直接点火（奇数，止于 $$）：$$。

（2）区间是 $$，先对称换算再点火：$$。

（3）$$ 偶次同号不抵消：$$。

（4）陷阱题：若照抄（2）的"直接点火再翻倍"之外偷懒——错解是只点火不翻倍得 $$。正解：$$。

坑位总结：区间不是 $$ 必须先换算；幂次奇偶决定 $$ 在 $$、$$ 上是否归零；$$ 在 $$ 上无论奇偶都翻倍，在 $$ 上奇次归零偶次乘 4。

#例题 6（模拟题）旋转体体积：绕 x 轴与绕 y 轴

求 $$（$$）与 $$ 轴所围图形分别绕 $$ 轴、$$ 轴旋转一周的体积。

解析：

绕 $$ 轴（圆盘法）：

$$

绕 $$ 轴（柱壳法，避开 $$ 与 $$ 的分段尴尬）：

$$

选型提示：曲线给出的 $$ 关于 $$ 单值而 $$ 关于 $$ 不单值时，绕 $$ 轴用柱壳法一步到位；绕任意直线（如 $$）时画截面，半径是"曲线到轴的距离"，先平移再套公式。

#常见坑

1. 点火公式区间不是 $$ 直接套：$$、$$、$$ 各有换算规则，见换算表
2. 指数奇偶陷阱：$$ 上 $$ 积分是 $$（不是点火值翻倍），$$ 上 $$ 是点火值翻倍 $$（不是 $$）
3. 变限积分被积函数含 $$ 直接套求导公式：$$ 必须先拆项（例题 4）
4. 上限是 $$ 等复合函数忘乘内层导数
5. 分部积分 u 选错方向：$$ 选了指数/三角导致循环放大，回到"反、对、幂、指、三"
6. 有理函数是假分式不先做除法，部分分式模板只对真分式成立
7. 第二类换元后忘记换积分限（定积分）或忘记回代（不定积分）
8. 反常积分不先判敛散就计算；拆项后"各自发散"推不出整体发散
9. 极坐标面积忘乘 $$；柱壳法绕 $$ 轴忘乘 $$ 因子
10. 弧长与旋转曲面当公共考点记：二者是仅数一考点，数二卷不出现（卷种确认前按超集学，确认后可划走）

#自测

1. 求 $$
2. 求 $$
3. 求 $$
4. 设 $$ 连续，求 $$
5. 判断并计算反常积分 $$

#自测答案与简析

1. 令 $$（$$）：$$。根式整体代换的最小样本
2. 分部两次（幂×指，$$ 起手）：$$
3. $$ 为奇函数积分为 $$，剩下 $$。先查奇偶再点火
4. 上限复合：$$。符号来自内层导数
5. 分母 $$，$$，收敛。无穷限反常积分配方后即是标准原函数

#本章关联

• 前置：一元函数微分学（换元法本质是复合求导逆用，分部是乘积求导逆用）
• 后继：常微分方程（一阶线性方程的通解公式就是变限积分）
• 章节测见 数学测验目录，做完回写 错题本